Статически неопределимая рама что это

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Статически неопределимые балки и рамы (метод сил)

Метод сил

Статически неопределимые — это такие балки и рамы, в которых для определения всех опорных реакций и внутренних усилий уравнений статики не хватает, то есть это система с «лишними» связями. «Лишние» (избыточные) связи бывают внешними, бывают и внутренними. А их количество называют «степенью статической неопределимости». Как ее определить?

В балках, а также и в простых рамах, то есть в рамах, не содержащих в своем составе так называемых замкнутых контуров, степень статической неопределимости можно найти по формуле:

n=ΣR—Ш-3,где: ΣR – количество всех возможных опорных реакций (в жесткой заделке реакций может быть три, в шарнирно-неподвижной опоре две, а в шарнирно-подвижной опоре — одна),

Ш – число простых шарниров, то есть таких, которые соединяют лишь два элемента, не больше

Если в узле сходится более двух элементов, то Ш=m-1, где m – количество сходящихся в узле стержней. Например,

3 (три) – число уравнений статики.

В сложных рамах применима другая формула:

где К – число замкнутых контуров

В методе сил расчет строится так, что в первую очередь определяются «лишние» неизвестные. Для этого составляют и решают канонические (стандартные) уравнения в количестве, равном степени статической неопределимости.

Здесь обозначено: Х₁, Х₂ – «лишние» неизвестные силы или усилия,

δ₁₁, δ₁₂, δ₂₁, δ₂₂ – главные и побочные коэффициенты,

Все коэффициенты по физическому смыслу являются перемещениями в так называемой основной системе по направлению лишних неизвестных: δ₁₁, δ₁₂, Δ_1F – по направлению Х₁, а δ₂₁, δ₂₂, Δ_2F – по направлению Х₂. Все эти перемещения определяются методом Мора с помощью «перемножения» эпюр изгибающих моментов, построенных в основной системе отдельно от каждой лишней неизвестной силы, равной единице (эп. от Х₁=1; эп. от Х₂=1), а также отдельно от всей заданной нагрузки (эпюра М_F):

После определения значений «лишних» неизвестных окончательную эпюру моментов можно построить по формуле:

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры M_ок,Q, N со всеми проверками.

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I₁=I , тогда второй I₂=2 I

1) определим степень статической неопределимости системы:

λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число уравнений статики

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:

2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами — X_{1 ,} X_2.

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

Построим грузовую эпюру моментов (все значения откладываются на сжатых волокнах):

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х₁=1 и х₂=1, строим единичные эпюры М₁ и М₂

Построим эпюру M₁ от действия x₁=1.

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 R_A— R_D= 0 верно

Теперь определим моменты в характерных точках

M_F лев =R_A2=22=4 (сжатые волокна сверху). Строим эпюру M₁

Построим эпюру M₂ от действия x₂=1.

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 R_A— R_D= 0 верно

Моменты в характерных точках

M_F лев =R_A2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x₁ и x₂ :

17,33X₁ +12X₂ -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X₂ (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X_{1 ,} X_2.

При построении эпюры M₂x₂ следует обратить внимание на то, что значение x₂ — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:

M_F л = 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2 кНм (сжатые волокна внизу)

M_F пр = -40 кНм (сжатые волокна внизу)

M_F низ = 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм (сжатые волокна справа)

M_E= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм (сжатые волокна слева)

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

M_ср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

верно

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

Эпюра M_s = M₁ + M₂ Это суммарная единичная эпюра: к основной системе прикладываем одновременно Х ₁ =1 и Х ₂ =1.

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1 проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_s = ∑δ_ij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

верно

Вторая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_F = ∑Δ_iF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.

Ошибка составляет: , что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по М_ок:

где М пр и М лев – моменты с эпюры М_ок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

Q_AF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

Q_FB=(0 – (-40))/2=20 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.

М_прав = -20,8 , М_лев = 6

Значение поперечной силы в точке E:

Значение в точке F найдём:

Строим эпюру Q

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы, и рассматриваем равновесие данного узла. Знаки у продольных сил — от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

∑х = 0, — 3 -3,4 + N = 0 N = 6,4 (растяжение)

Рассмотрим узел F

∑х = 0, — N₁ + 23,4 = 0

N₁ = 23,4 кН (сжатие –к узлу)

∑у = 0 , N₂ – 9,6 – 20= 0

N 2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), и проверяется равновесие рамы в целом

Источник